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Pierre Crespin	Pavage du plan par le quinzième pentagone

La découverte en 2015 du quinzième pentagone pavant le plan clôt une saga d'un siècle, évoquée dans de nombreux articles ou les sites suivants.
Voir sur le sujet l'article d'Etienne GHYS dans Le Monde du 30/09/2015, l'article de JP Delahaye "Paver le plan avec un pentagone convexe" dans "Pour la Science" n° 482, celui de Sean Bailly de Septembre 2015 dans "Pour La Science" et le site "Mathématiques magiques" de Thérèse Eveilleau à la rubrique Pavages.

A gauche l'image illustrant un des articles et mes premières figures du pavage obtenues avec Cabri II Plus

Etude initiale (2015-2018) plus particulièrement consacrée aux propriétés du 15ème pentagone et à son pavage du plan.

SOMMAIRE de la première étude (baptisée "Penta15"

ETUDE 2020-2022 (Avril 2020-Sept 2022) avec une page SOMMAIRE 2020-2022 détaillée,
comportant deux parties (Partie I et Partie II).

Une étude complémentaire pour approfondir l'étude des bonnes propriétés de ce 15ème pavé-pentagone, et des bonnes propriétés de deux blocs de 3 pavés, générateurs de ce quinzième pavage pentagonal du plan , ... mais aussi générateurs d'une rosace.
Etude qui nous amènera à comparer notre pavage par Penta15 à une structure de pavage islamique basée sur des rosaces
et à d'autres pavages ayant la même structure, c'est à dire ayant les mêmes éléments de symétrie.

Voir le résumé de l'étude en 40-45 figures ou un résumé flash en 10 figures ou le sommaire plus bas

Septembre 2015.
A la suite de la lecture de l'article d'Etienne GHYS dans Le Monde, je me suis précipité sur mon ordinateur et mon Cabri II pour réaliser ce fameux nouveau pavage du plan par des pentagones, pavage dont l'article donnait une image ainsi que celles des 14 pavages du plan par des pentagones connus précédemment.
J'avais déjà étudié les propriétés de certains d'entre eux au fil de mes études précédentes sur les pavages (Escher, Penrose et autres), ainsi que pour la rubrique "pavages" du nouveau programme en Première L en 2000. J'ai alors obtenu avec Cabri une des images que voici ci-dessus, mais j'avais le modèle sous les yeux !! Autant dire que je n'ai rien inventé à ce propos. Mais j'ai aussi obtenu celle (en noir et blanc) que je présente ci-dessous, ou plus loin en deux couleurs distinguant les orientations des pavés.

Depuis Janvier 2017, je me suis penché un peu plus sur ce nouveau type de pavage, toujours avec l'aide de Cabri.
Et c'est certains points remarqués que je voudrais exposer ici. Il me semble que le sujet est très riche aussi bien dans ses aspects géométriques (élémentaires, mais à rebondissements) que dans ses aspects décoratifs. J'ajoute que la preuve de Michaël Rao que ce pentagone est bien le dernier des pentagones à paver le plan en fait un pentagone vedette. Je n'ai trouvé que peu de références sur Internet en dehors des articles cités (dont l'article du Huffington Post sur l'équipe américaine qui a trouvé ce nouveau pentagone), et des sites de E. Ghys, de JP Delahaye, et de Thérèse Eveilleau (site "Mathématiques Magiques" dont je continue à apprécier les qualités rares), ainsi que des articles de Wikipedia ou de Pour La Science.

Il me parait intéressant de donner dès maintenant deux autres images du pavage, car la première m'a assez surpris la première fois, quoique ... . Mais elle montre l'essentiel d'une des propriétés que possède le pavage comme exemple non trivial d'un ensemble où le fond et la forme sont ambivalants. L'autre image est une image en trois niveaux de gris pour la confronter à sa voisine.

Important : Figures CABRI et interactivité avec Internet.

Toutes les figures de cette étude ont été obtenues avec Cabri II Plus. En général on peut les afficher plein écran en cliquant sur l'image réduite affichée. Certaines figures sont des figures Cabri II Plus dans leur version Plug-in ou CabriJava et peuvent être manipulées en direct. Les liens vers les pages Cabri II Plug-in sont en général précédés de ou ou . Ce n'est pas le cas dans les pages récentes (2020), j'ai tout à fait délaissé cette contrainte un peu pénible à traiter dans la fabrication des pages.
Mais ces fichiers CabriJava ou Plugs-in Cabri II Plus ne peuvent être encore exécutés que sous Internet Explorer 5 ou autres navigateurs "anciens", et il n'est pas sûr que ce soit encore pour très longtemps. Je ne suis pas très compétent dans ce domaine.

Novembre 2022 : Je rectifie : Microsoft EDGE permet de recharger une page en mode "Internet Explorer", j'ai pu le vérifier depuis un bon mois, ce qui me ravit, mais attention aux risques pris que je suis incapable d'évaluer.
Sous Chrome et autres, seule est accessible une image fixe, copie d'écran de la figure Cabri au moment de la sauvegarde, et donc non interactive et non dynamique et donc réductrice. Ces images risquent aussi de ne pas comporter tous les éléments évoqués suivant le moment où elles ont été sauvegardées. Mais les figures Cabri II Plus sont disponibles et exécutables si vous avez installé le logiciel sur votre poste. Pour ceux qui souhaiteraient télécharger et ouvrir la figure Cabri correspondant à un fichier .html ou .png ou .jpg, je suggère de remplacer l'extension de ce fichier par l'extension fig et de valider.
Les fichiers .fig sont dans les mêmes répertoires que les fichiers qui leur correspondent. Attention, ce ne sont pas des fichiers lisibles par l'application "CABRI EXPRESS".
Je pense qu'il est toujours possible de télécharger gratuitement une version de démonstration de Cabri II Plus sur le site de CabriLog, car il serait dommage de se priver de la possibilité d'intervenir dans la figure pour certaines d'entre elles.

Voir quelques indications sur la manipulation de ces figures si vous êtes utilisateur de CABRI II Plus

Septembre 2015. A la suite de la lecture de l'article d'Etienne GHYS dans Le Monde, je me suis précipité sur mon ordinateur et mon Cabri II pour réaliser ce fameux nouveau pavage du plan par des pentagones, pavage dont l'article donnait une image ainsi que celles des 14 pavages du plan par des pentagones connus précédemment. J'avais déjà étudié les propriétés de certains d'entre eux au fil de mes études précédentes sur les pavages (Escher, Penrose et autres), ainsi que pour la rubrique "pavages" du nouveau programme en Première L en 2000. J'ai alors obtenu avec Cabri une des images que voici ci-dessus, mais j'avais le modèle sous les yeux !! Autant dire que je n'ai rien inventé à ce propos. Mais j'ai aussi obtenu celle (en noir et blanc) que je présente ci-dessous, ou plus loin en deux couleurs distinguant les orientations des pavés. Depuis Janvier 2017, je me suis penché un peu plus sur ce nouveau type de pavage, toujours avec l'aide de Cabri. Et c'est certains points remarqués que je voudrais exposer ici. Il me semble que le sujet est très riche aussi bien dans ses aspects géométriques (élémentaires, mais à rebondissements) que dans ses aspects décoratifs. J'ajoute que la preuve de Michaël Rao que ce pentagone est bien le dernier des pentagones à paver le plan en fait un pentagone vedette. Je n'ai trouvé que peu de références sur Internet en dehors des articles cités (dont l'article du Huffington Post sur l'équipe américaine qui a trouvé ce nouveau pentagone), et des sites de E. Ghys, de JP Delahaye, et de Thérèse Eveilleau (site "Mathématiques Magiques" dont je continue à apprécier les qualités rares), ainsi que des articles de Wikipedia ou de Pour La Science. Il me parait intéressant de donner dès maintenant deux autres images du pavage, car la première m'a assez surpris la première fois, quoique ... . Mais elle montre l'essentiel d'une des propriétés que possède le pavage comme exemple non trivial d'un ensemble où le fond et la forme sont ambivalants. L'autre image est une image en trois niveaux de gris pour la confronter à sa voisine.

Sommaire de l'étude 2016-2018 1. Construction du pavé Penta15 et quelques-unes de ses premières propriétés avec diaporama de présentation (page 1) 2. Images du pavage obtenu avec des variantes déterminées par des choix divers de couleurs (pages 2, 2.1, 2.2) 3. Construction du pavage avec étude de certains assemblages de pavés ainsi que des possibilités de poursuite du pavage. (pages 3, 4, 5) 4. Blocs-assemblages de pavés engendrant le pavage par translations, symétries centrales et isométries négatives (retournements). (pages 5, 6) 5. Pour conclure : Tentative de preuve de l'unicité du pavage (gauche et droit) (page 7) et Justification illustrée de l'unicité du pavage (à un déplacement ou antidéplacement près) 6. Annexe 1: translations de base, calculs divers liés aux vecteurs et rectangle de base (pages 8, 9, 10) 7. Annexe 2 : Compléments (version 2) sur les blocs de base (page 9 bis) et Compléments (version 3) (peut utilement remplacer les versions précédentes) page 9b-bis ! PS : Post ou Pré Scriptum : Mes intentions, mon état d'esprit et mes commentaires. Certains fichiers sont superflus ou non encore définitivement choisis, redondants. Travaux en cours. Compléments successifs 8. Quelques autres propriétés du pavage découvertes au fil de l'étude (ou postérieurement) 9. Tentative de synthèse des propriétés du pentagone Penta15 10. Un premier Résumé (de l'étude 2016-2018 en une trentaine de figures ou d'images)
Une dernière étude plus récente (Décembre 2019-Septembre 2022) Un autre aspect de l'étude à partir d'autres propriétés du pavé pentagonal Penta15, de propriétés d'une rosace, et de propriétés de certains blocs de 3 pavés, générateurs de la rosace et du pavage du plan.. Accès à un résumé en 10 figures de cette étude 2020 ou à un résumé en 40-45 figures de cette étude 2020 et à une page SOMMAIRE 2020-2022 détaillée. INTRODUCTION : Accès à Présentation et à Questions et à Réponses (diverses approches de l'étude complémentaire et sa motivation) et Réponses en figures ou images (mieux) , mais ... vous pouvez sauter ces points pour un parcours plus rapide. Au fil de cette étude, il m'est apparu que d'autres pavages avaient les mêmes éléments de symétrie que le quinzième pavage pentagonal du plan, et c'est sans doute là l'intérêt de cette étude, me semble-t-il. OssatureRosaces pour une structure de type "pavage islamique" constituée de rosaces tronquées Ossature1Quadri15 pour une structure composée de quadrilatères "Quadri15" (ceux qui apparaissent dans les rosaces tronquées), Ossature2Hexa15 pour une structure composée d'hexagones "Hexa15" (paires de quadrilatères "Quadri15" symétriques, hexagones comportant trois axes de symétrie et trois rotations, et ayant leurs côtés isométriques sans être réguliers). Deux derniers pavés et les pavages correspondants pour une dernière ossature dans Pavages3Hexa15 Les divers pavés (rosaces tronquées, Quadri15 et Hexa15, de même qu'un triangle "45-60-75") sont apparus assez naturellement et donnent lieu à des digressions dans les pages suivantes : RosaceTronquée , VariationsQuadri15 , VariationsHexa15 , en particulier pour les pavages avec Quadri15 et/ou Hexa15, pavés qui ont la faculté, avec d'autres éléments bien connus, de constituer des pavages intéressants, mais que je ne connaissais pas. Et la conclusion ! , ... mais j'ai déjà défloré un peu le contenu de celle-ci. Et une tentative de synthèse : les liens entre Penta15, Quadri15 et Hexa15 et d'autres éléments rencontrés dans cette étude dont la rosace de Diane. Avec les propriétés de l'angle 150° , ces liens sont peut-être la principale raison du succès du pentagone Penta15 à paver le plan. Annexe 1 : VariationsAutresPavages Autres pavages en modifiant les nombres de colonnes dans des pavages déjà construits, ou avec d'autres pavés qui se sont présentés assez naturellement. Autres Pavages avec Pavages1Hexa15 , Pavages2Hexa15 , AutresPavages2 Annexe 2 : VariationsAutreRosaces Autres rosaces avec d'autres pavés. Annexe 3 : Enfin deux ou trois pages encore en cours d'étude et de réalisation , donc brouillonnes, dont la place dans le plan n'a pas été choisie. Pour rappel, un premier Résumé , en une trentaine de figures, de la première partie de l'étude (2016-2018) centrée sur le pavé Penta15 et le quinzième pavage pentagonal du plan qu'il engendre.