Pierre Crespin

Etude du pavage du plan par le pentagone Penta15 Propriétés du pentagone Penta15

ProprietesPenta15

16/04/2018 et 16/08/2018 : Dernière tentative d'une synthèse des propriétés du pentagone Penta15 (en cours de réalisation)

Depuis le début de mon étude (il y a plus d'un an et demi) je tourne autour du pentagone Penta15 en cherchant en quoi il est un bon candidat à être une tuile de pavage du plan et en quoi il génère des propriétés du pavage que je trouve assez intéressantes.

Je vais essayer de rassembler ici des propriétés déjà évoquées et des compléments qui se sont imposés à moi au fil de l'étude,
mais peut-être aussi évoquer des points survolés à approfondir encore.

1° La construction du pentagone et les premières propriétés
- le triangle équilatéral qui le contient
- les figures simples dont il est composé

Des considérations simples sur quelques angles montrent que le triangle AFG a trois angles de 60°, donc qu'il est équilatéral. Voir la figure Inversement construire un pavé Penta15 dans un triangle équilatéral Voir la figure

2° l'existence d'une translation potentielle pour le futur pavage.

Possibilité d'utiliser un pavé par retournement étant donnée, voyons la figure constituée par une paire de pavés accolés par symétrie axiale, et voyons ses propriétés dans le cas de la symétrie par rapport au côté de mesure 2 et de celle par rapport au côté irrationnel.

Avec le bloc de 3 pavés symétriques essayons de voir un début de construction du pavage en utilisant l'un des blocs de trois pavés .

- et Essai de tracé d'un pentagone inscrit dans un triangle équilatéral pour tester la possibilité de pavage. Voir la figure

3° Les angles du pentagone et les divers angles intervenant dans certaines figures de base comme les paires de pavés symétriques

Une grande majorité d'angles intervenant dans la plupart des figures est constituée d'angles multiples de 15° (pi/12), les sommes aussi bien sûr (congruences modulo pi/12), mais 45°, 75° ne figurent pas dans la liste des sommes et leur présence dans un angle libre, lors d'une tentative de poursuite du pavage, signifie que le pavage ne peut se poursuivre.
		Mais cette propriété (avoir des angles multiples de 15°), n'est peut-être pas aussi exceptionnelle dans le cas d'un pentagone inscrit dans un triange équilatéral. Voyons d'un peu plus près.

4° Les conséquences de la présence d'un seul côté de mesure irrationnelle dans les assemblages de pavés pour une poursuite du pavage.

Pour une tentative de poursuite du pavage en présence du côté irrationnel libre, seul le côté irrationnel d'un autre pavé peut être accolé. Et ceci ne peut se faire que de trois façons comme sur la figure ci-contre.

Mais comme le pavé présent est d'une couleur (orientation) donnée, il n'y a que deux choix possibles (même couleur ou couleur différente) pour poursuivre, encore faut-il que les angles soient compatibles. On verra que la poursuite à partir de deux pavés de même orientation est possible avec une seule possibilité.

5° Les mesures des côtés avec un choix de l'unité et les cercles de rayon 1 centrés sur les sommets.

Rappelons que nous avons choisi l'unité en prenant les côtés de l'angle droit. Et donc que le côté [AB] a aussi 1 comme longueur, alors que [AE] a pour longueur 2 et [BC] pour longueur long irrationnelle.. La suite des longueurs est donc 1,1,2,1,long (~1.93)

6° une figure rassemblant la plupart des propriétés (voir la figure)

7° Comment construire un pavé Penta15 inscrit dans un triangle équilatéral donné ? en tatonnant , autre construction régle et compas

et une figure montrant le remplissage du triangle équilatéral par le pentagone Penta15 et ses images par les rotations laissant le triangle invariant.

8° Des tentatives pour trouver un bon Penta15 à partir de diverses constructions laissant un ou plusieurs degrés de liberté: EssaisPenta15.html et EssaiPourPavage (RecherchePave15AnglesPenta4.html)