Etude de pavages liés au quinzième pavage pentagonal du plan. Première page d'une synthèse de l'étude en cours qui montre tous les pavages évoqués ayant la même structure que le quinzième pavage pentagonal du plan. Et approfondit l'étude de la rosace "de Diane" , qui cachait bien le quinzième pentagone pavant le plan, découvert en 2015, Les propriétés de cette rosace sont déterminantes pour celles du pavé "Penta15" et pour tous les pavages abordés.

La question que je m'étais posée en commençant cette étude était "Qu'est-ce qui fait que le pavé Penta15 est un bon prétendant à paver le plan ? et pourquoi a-t-on mis autant de temps à le trouver?"

Je ne suis toujours pas sûr de la réponse, mais j'ai la conviction que l'angle 150° est déterminant. Et que la rosace de Diane est bien liée à ces diverses propriétés puisqu'en chaque sommet externe de la rosace, qui est sommet commun d'un carré et d'un triangle équilatéral,l'angle est bien 150°.
- Rappelons que 150 = 10x15 , que tous les angles du pavé sont des multiples de 15° ( 60°= 4x15°, 90°= 6x15°, 105°= 7x15°, 135°= 9x15°; 150°= 10x15° et 15 est leur pgcd). De plus 75°, 120°, 150°apparaissent dans l'assemblage de deux ou trois pavés et 75°= 5x15°, 120°= 8x15°, 150°= 10x15°, 150°= 90°+60°, 360°= 12x30°= 24x15° = 4x2x45°).
- 150° et 15° se présentent dans l'assemblage "CarTriEq" d'un carré et d'un triangle équilatéral. D'abord parce que 150°=90°+60°, et lors de la "quadrisection" de l'angle (60°) sommet du pentagone, par l'axe de symétrie et les deux diagonales (fig 1). Notons aussi que ces diagonales ont même longueur (ir) que le côté "BC" du pavé Penta15, dont la meilleure construction est celle qui utilise un "CarTriEq" en lui assemblant deux triangles équilatéraux.
- Enfin, en anticipant peu, les assemblages de blocs de trois Penta15 d'orientations différentes se font uniquement par les angles 150° (saillants/rentrants). Voir le mode d'assemblage dans la figure 4. Parmi les éléments fréquents qui apparaissent dans beaucoup de figures se trouvent des triangles équilatéraux, des triangles isocèles (150°, 15°, 15°) ou (30°,75°,75°), des carrés, des hexagones réguliers (ou non, certains ayant pourtant des propriétés particulières intéressantes). C'est par exemple le cas de HexaBloc10 (ou Hexa10) qui est un assemblage de trois triangles équilatéraux et de trois triangles isocèles (30,75,75).

L'hexagone HexaBloc10 voit figurer tous les multiples de 15° depuis 15° jusqu'à 150° et il est présent, comme Penta15, dans la rosace de Diane, tous deux un peu cachés certes, mais visibles pour peu que l'on trace quelques diagonales ou segments qui rompent la sacro-sainte symétrie. On retrouve souvent des segments de longueur ir dans ces tracés. Et ce sont bien des segments de ce type que l'on peut mettre en évidence pour construire un hexagone proche du bloc BlocAEd (Fig 3). Celui choisi a 5 de ses 6 sommets situés sur un même cercle, et cinq côtés isométriques de longueur ir. Les sommets sont aussi sommets d'un dodécagone ou d'un hexagone régulier inscrits dans le même cercle.

Je suis maintenant persuadé que la rosace de DIANE contient tous les ingrédients qui font le quinzième pavage pentagonal du plan, et ceci, en ayant tracé dans une rosace une diagonale qui cassait en grande partie les multiples symétries initiales, et en introduisant un segment de longueur irrationnelle et ses semblables quand tous les segments initiaux avaient pour mesure 1. Et on retrouve dans cette nouvelle figure issue de la rosace, tous les ingrédients qui feront les pavés "Penta15" et le quinzième pavage pentagonal, avec en prime un pavage hexagonal, avec une nouvelle tomette hexagonale n'ayant plus qu'un côté de mesure 1, les cinq autres étant des côtés isométriques au segment "perturbateur" introduit..