Pierre CRESPIN
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Essai de synthèse sur l'étude de quelques pavages liés au quinzième pavage pentagonal du plan. Présentation de (presque) tous les pavages évoqués ayant la même structure que le quinzième pavage pentagonal du plan.

NOTE : les termes utilisés (ossature, structure, ... ayant mêmes éléments de symétrie que ...) sont un peu vagues, peut-être volontairement, en particulier parce que le pavage par Penta15 est le pavage par ce pavé pentagone et que les autres pavages sont des pavages par des blocs de trois pavés ou des pavages par des tuiles ayant la même aire que le bloc de trois pavés Penta15. Néanmoins, comme l'unicité du pavage par Penta15 a été prouvée, la connaissance d'un bloc de trois, ou d'une tuile, permet de retrouver chacun des pavés du pavage par Penta15. On peut ignorer dans notre recherche, au moins momentanément, les symétries liant localement les trois pavés.
Deux des divers pavages étudiés ayant les mêmes éléments de symétrie que le quinzième pavage pentagonal du plan :
Notez ci-dessus à gauche les sens cohérents indiqués par les triangles dans les paires de deux colonnes
Poursuite de la recherche de tuiles
blocs-coquilles sur fond de pavage "Penta15" comportant carrés, demi-hexagones, triangles de construction intermédiaire qui laissent bien apparaître la cohérence avec les rosaces de Diane tronquées.
... et des blocs hexagonaux qui pavent donc le plan, dont celui que j'ai appelé Hexa10, que nous avons déjà étudié plus particulièrement. Rappelons qu'il a cinq côtés isométriques.
Comparaison entre pavages par deux blocs, le premier est un octogone dont les huit sommets sont aussi sommets du pavage "Penta15", le second est un pavage par Hexa10 dont cinq sommets sont sommets "Penta15", le sixième étant milieu d'un côté "Penta15".
Je redonne l'image du pavage par les blocs de trois pavés Penta15 puisque c'est le premier bloc envisagé et que ce bloc donne facilement naissance à Hexa10 en "lissant" pointes et creux, même si je ne l'ai pas vu à l'époque.
 
et à nouveau avec les blocs-coquilles
Pavages par les hexagones Hexa10 ou/et "du type Bloc10", dont les deux où tous les pavés ont même orientation et celui qui a les mêmes éléments de symétrie que le quinzième pavage pentagonal.
Quelques autres pavages qui s'en déduisent à l'aide des triangles qui façonnent Hexa10 (pavages par des quadrilatères, des losanges et/ou des paires de triangles)
A gauche ces deux pavages, homogènes en terme d'orientation des hexagones Hexa10 , sont isométriques l'un de l'autre par réflexion glissée, vous pouvez tester les recouvrements possibles ou non.
A droite le pavage par les deux triangles, celui que nous avons retenu pour cause d'analogie de structure avec le pavage "Penta15", et dont nous approfondissons l'étude des propriétés.

A gauche une évocation du pavage par les quadrilatères Quadri10, n'utilisant que deux couleurs suivant leur orientation.
A droite diverses variantes dont le pavage par losanges qui montre une structure très organisée et même très "rigide".
Le long des droites contenant les centres des losanges on constate la présence alternée de deux triangles équilatéraux et de deux triangles isocèles (autrement dit un losange large et un losange étroit), aussi bien horizontalement que verticalement. On peut voir que les frises de quadrilatères Quadri10 sont globalement invariantes par des translations de vecteur W, vecteur dont l'existence a été soulignée dès le début de l'étude "Penta15" et dont on trouve ici une nouvelle interprétation géométrique qui lui manquait.
Pour constater à nouveau la bonne coïncidence (partielle cependant) des sommets de ces pavages sur fond de pavés "Penta15". Vous remarquerez sans doute aussi que les sommets des pavés Penta15 sont, pour 4 d'entre eux parmi 5, sommets des hexagones Hexa10.
Et une mozaïque chronologique des pavages étudiés à dérouler de gauche à droite et des variantes, avec quelques pavés de plus ou avec possibilité d'en ajouter. Possibilité d'assemblage le long des fontières lignes brisées presque communes à tous ces pavages.
Nombre réduit à trois-quatre pour permettre une meilleure observation  
 
Et tout ça pour ça ? à vérifier avec Cabri II Plus en testant si le pavage est solide lorsqu'on déplace le point

Compléments en vrac (en attente)
Et approfondir l'étude de la rosace "de Diane" , qui cachait bien le quinzième pentagone pavant le plan.
Sommaire Partie II
Sommaire 2020 Penta15
 
PLUS peu nécessaire et peu utile : quelques comparaisons et rapprochements entre le pavage "Penta15" et les pavages de structure "islamique"
(figures à comparer avec celles de la première ligne au début de la page) à supprimer ?
Dernière surprise avec un pavage par des dodécagones non convexes sur le pavage "Penta15"

Quelques idées pour la suite ???, activités possibles :
- approfondir l'étude des pavés "presque équilatéraux" (ils sont déjà assez nombreux dans cette étude, est-ce par hasard ?)
- retrouver les caractéristiques de pavés pentagones à partir d'images de pavages trouvées sur Internet.
- approfondir l'étude des pavages de Marjorie Rice, avec une construction vue pour les pavés équilatéraux,
- revoir certaines propriétés de ces pavages, en distinguant les orientations des pavés comme fait pour le pavage "Penta15".
- La rencontre avec le pavage de la rosace de Diane semble aussi à approfondir. (page en cours provisoire RosaceDiane.html )