Pierre Crespin

Résumé de la dernière partie de l'étude sur
le dernier pavage connu du plan par des pentagones (202
0)

55 Figures

Note pour les Figures Cabri II Plus

Présentation du pavé Penta15

Présentation des blocs de 3 pavés Penta15 choisis ici pour l'étude
Ces blocs ont des propriétés très fortes, en grande partie issues des angles multiples de 15°, qui sont intimement liés au pentagone "carré-triangle équilatéral" apparaissant dans les structures évoquées plus loin.

Présentation du 15 ° pavage pentagonal du plan
Six aspects du pavage du plan par Penta15, avec le tracé des parties constitutives (carré, demi-hexagone, triangle) pour les trois dernières.

On se pose la question : est-il possible que le 15° pavage pentagonal du plan puisse, en grande partie, coïncider avec une structure de pavage islamique comme une de celles évoquées ci-dessous ? Question motivée par la présence de nombreux hexagones ou demi-hexagones, carrés et triangles équilatéraux. Ma réponse est "oui", sous réserve d'un petit aménagement qui respecte l'essentiel.

Ci-dessous, les diverses tentatives en utilisant les figures manipulables sous Cabri II Plus Plug-in.

Ces lignes brisées, "frontières" entre deux zones du pavage, sont utiles pour le positionnement des pavés.
Ces blocs sont inscrits dans des rosaces et leur assemblage est compatible avec les rosaces concernées (ici à gauche entre deux blocs d'orientations différentes où l'assemblage est aussi parfait pour les rosaces) et avec un léger chevauchement le long du côté irrationnel (dans le cas des blocs de même orientation qui sont symétriques par rapport à ce milieu du côté commun).
Dans la figure ci-dessous à droite, les quatre colonnes de rosaces "pavent" bien la zone de droite et donc "pavent" le plan (translation V1).

mais il y a ces chevauchements non admis !!
Alors disons-nous ceci : Plutôt que des rosaces qui s'entrechoquent, nous allons considérer une rosace tronquée dont un côté est le côté irrationnel de Penta15 (tous les autres côtés ayant pour longueur 1, choix fait depuis le début de l'étude lorsque qu'il y a cette possibilité).
et l'assemblage de deux d'entre elles, par symétrie centrale. Enfin l'assemblage des rosaces, de manière analogue à la structure initialement proposée, constitue l'ossature cherchée (figure de droite ci-dessous).
Cette structure est compatible avec les diverses symétries, translations , antidéplacements du pavage pentagonal. Il faut cependant remplacer un pavé Penta15 par un quadrilatère issu d'un carré et d'un triangle équilatéral. Nous sommes proches du but.
Ci-dessous les figures qui permettent de tester la grille-ossature sur trois variantes du pavage Penta15.
Voilà donc un premier pavage, avec des rosaces tronquées, qui a les mêmes éléments de symétrie que le quinzième pavage pentagonal du plan.
Peut-être, peut-on parler de structure de pavage islamique, en dépit du fait que je ne l'ai pas trouvé dans mes recherches par Internet?
Ci-contre à droite une image "mixte" pour mettre en relief certaines parties.

Mais une autre ossature semble compatible avec le pavage pentagonal par Penta15. Elle apparait en considérant les quadrilatères Quadri15 associés aux blocs de 3 pavés comme dans la figure de gauche ci-dessous.

et enfin , avec un nouveau pavé intéressant, réunion de deux quadrilatères symétriques orthogonaux, qui est un hexagone que j'appelle Hexa15..
Et donc un dernier pavage ayant les mêmes éléments de symétrie que notre pavage par Penta15, pavage avec des hexagones Hexa15, et des hexagones toujours issus des quadrilatères Quadri15, mais par symétrie centrale (en orange et rouge).
Enfin une mozaïque de trois pavages, ceux -ci ayant les mêmes "frontières"
avec des macros Cabri plus "propres"...

... pour chaque pavage

et les éléments de symétrie
Et un nouveau pavé, et un nouveau pavage (Mars 2021) . On retrouve les mêmes pavés que ceux associés aux rosaces tronquées "islamiques", ce qui parait très cohérent.
Et en poursuivant notre recherche, on trouve un hexagone qui pave le plan, toujours avec les mêmes éléments de symétrie.
une propriété de cet hexagone "HexaBloc10": tous les angles multiples de 15° de 15° à 150° >>
Retour Sommaire Penta15 ou Résumé en 12 figures ou Sommaire 2020