Un algorithme de PENROSE

Regardons deux images de pavages d'un triangle d'or par des triangles d'or (zooms sur une partie), l'un au degré 15, l'autre au degré 16 ( cela signifie que l'on a appliqué 15 ou 16 fois la règle de fractionnement des triangles d'or)

Vous remarquerez que l'on peut regrouper soit deux triangles d'or aigus soit deux triangles d'or obtus comme indiqué ci-dessous dans chaque cas.

Dans le premier cas ( n = 15 ou plus généralement pour n impair), on peut donc paver avec les deux types de losanges d'or (un large et un étroit). Dans le second cas ( n = 16 ou n pair) , le pavage utilise deux pavés appelés flèche et pointe.

Vous pourrez vérifier ci-dessous qu'il en est bien ainsi (pas de "trous"!), mais bien sûr il y aura des "coupes" sur les bords du triangle ou des parties de pavés qui dépassent. Par contre, pas de problème pour paver le plan. Ces deux pavages sont appelés des pavages de Penrose du plan.

Ces quatre carreaux sont constitués par l'assemblage de deux triangles d'or de même type ( deux aigus ou deux obtus).
Voir une page en CabriJava décrivant ces assemblages et quelques indications sur le passage du pavage du triangle au pavage du plan.