Pierre CRESPIN et Joachim LLORCA Labo Maths-Info Lycée Dumont d'Urville Toulon
Problème de la POULIE
Référence : Hypothèses Hors Série Avril 97- Article de P. Drijvers - Utrecht Pays-Bas -
Problème attaché aux noms de L'Hôpital et de Bernouilli .
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AB est une barre horizontale de longueur donnée L ( L = 1 m ). Une poulie C est attachée à A par un fil de longueur l =AC ( l = 0.4 m). Un fil de longueur L a une extrémité attachée à B, passe dans la poulie. A sa deuxième extrémité D est attaché un poids. Il s'agit de déterminer la position stable de l'ensemble. NB: dans la suite nous traiterons souvent plus généralement le problème avec des longueurs L' du fil BD (L'#L) et l du fil AC plus quelconques que les longueurs données initialement. |
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CONSTRUCTION D'UN MODELE GEOMETRIQUE avec CABRI
On supposera bien sûr que la poulie est un point sans masse, et que les fils sont aussi sans masse.
L et l sont données par deux segments; la barre est un segment [AB] d'une droite horizontale (H).
A l'aide de l'outil compas construire le cercle (C1) de centre A et de rayon l et le cercle (C2) de centre B et de rayon L.
Soit C un point du cercle (C1). La demi-droite d'origine B contenant C coupe (C2) en E.
Construire le cercle (C3) de centre C passant par E et la droite (d) perpendiculaire à (H) passant par C. Le point D est le point d'intersection de (d) et de (C3) situé " en bas ".
Il est évident que l'on a bien DC + CB = L si C appartient à [EB]. Pour définir correctement D, il faudrait tout d'abord définir le point C' intersection de (d) avec le segment [EB], puis la droite (d') passant par C' et orthogonale à (H), et enfin D comme point de (C3) et de (d').
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ACTIVITES |
1°) Promener C sur (C1). Observer le déplacement de D. On peut tracer son lieu (L) lorsque C décrit le cercle (C1). Il faudrait sans doute limiter le déplacement de C sur le cercle (C1) en lui imposant d'être élément d'un arc de cercle à définir précisément ( la recherche de cet arc est un petit problème annexe intéressant ). Sans précaution particulière, le lieu (L) de D est un " coeur " . Le véritable lieu de D, compte-tenu des contraintes est un arc de cette courbe. Dans toutes les hypothèses, on s'aperçoit que l'altitude de D varie et qu'il existe une position de C pour laquelle cette altitude est minimale. Il me semble qu'il viendra assez naturellement que la position d'équilibre est celle correspondant à ce minimum.
2°) et 3°) Rédaction de ces activités dans le fichier WORD pour cause d'écriture de vecteurs.
4°) La position d'équilibre étant obtenue lorsque (CA) est la bissectrice de (CB,CD), considérons cette bissectrice (b) et le point A' symétrique de A par rapport à (b). Construire le lieu de A'. Il contient A (point double). Promener C pour que A' soit confondu avec A.
L'article de P. Drijvers dans " Hypothèses " fournit une approche numérique formelle avec mise en équation et résolution par DERIVE de la TI 92.
Joachim Llorca vous propose une autre solution dans cet esprit. Charger le fichier TEX
