Une municipalité envisage l’aménagement d’un plan d’eau artificiel. Dans le projet, ce plan d’eau devra contenir 30 000 m³ le 1^er juillet. On estime qu’en période estivale les pertes hydriques dues à l’évaporation sont de 2 % par jour . Pour les compenser, on prévoit durant les mois d’été un apport, pendant chaque nuit, de 500 m³ .

Le problème est de savoir si les apports prévus pendant les mois de juillet et août seront suffisants pour que le volume ne descende pas en dessous de la valeur critique de 27 000 m³ .

On note V_n le volume d’eau en m³ contenu dans le plan d’eau, selon ce projet, au matin du n^ième jour qui suit le 1^er juillet . V₀ désigne le volume au matin du 1^er juillet, on a donc V₀ = 30 000 .

1 - Utiliser le tableur pour calculer le volume d’eau contenu dans le plan d’eau tous les jours du mois de juillet et du mois d’août .

2 - a ) Démontrer que la suite V n’est pas arithmétique .

b ) Démontrer que la suite V n’est pas géométrique .

c ) Le volume d’eau descend-il au dessous de 27 000 m³ ? Si oui , à partir de quel jour ?

d ) Que se passe-t-il si on prend V₀ = 25 000 ?

3 - On définit une nouvelle suite U par U_n = V_n - 25 000 .

Utiliser le tableur pour calculer les termes de cette suite , puis démontrer qu’elle est géométrique en précisant sa raison .

On lâche une bille . Chaque dixième de seconde , on mesure la distance qu’elle a parcourue depuis son lâcher . On obtient les résultats suivants :

1 - Utiliser le tableur pour représenter la suite (d _n) obtenue . Est-elle arithmétique ?

2 - On pose u ₀ = d ₁ - d ₀ , u ₁ = d ₂ - d ₁ , u ₂ = d ₃ - d ₂ , ... , u ₇ = d ₈ - d ₇ . Quelles distances représentent u ₀ , u ₁ , u ₂ , ... , u ₇ ?

Utiliser le tableur pour calculer u ₀ , u ₁ , u ₂ , ... , u ₇ et pour représenter cette suite .

Vérifier qu’elle est arithmétique ( aux erreurs de mesure près ) 

3 - Selon une tradition , c’est en étudiant au début du XVII^ème siècle la chute d’une bille du haut de la Tour de Pise et en observant que la suite des distances parcourues pendant des intervalles de temps égaux est arithmétique que Galilée a découvert la loi de la chute des corps : d = 1/2 gt² où d désigne la distance parcourue entre l’instant 0 et l’instant t ( d en mètres et t en secondes ) et g l’accélération de la pesanteur g= 9,8 .

Suivant cette loi , la distance parcourue au bout de n dixièmes de seconde est :

Calculer x ₀ , x₁ , x₂ , ... , x₈ à l’aide du tableur et comparer avec d₀ , d₁ , d₂ , ... , d₈ .