Premières L
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Lycée Dumont d’Urville
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Suites numériques
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Pierre Crespin
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Voir les fichiers Excel avec graphiques pour une suite arithmétique et pour une suite géométrique |
1 Quelques généralités
Une suite est une liste de
nombres. Elle a un premier terme, un deuxième terme, un troisième terme, ...,
un nième terme, ...
Définition : Une suite
u associe à chaque entier naturel, élément de l'ensemble N, un réel élément de
l'ensemble R.
L'image de n par u, u(n), est
aussi notée un . un est le terme général de la suite, n
est l'indice du terme un. La suite est notée (un ) ;
un et un+1 sont deux termes consécutifs de la suite , de
même que un-1 et un.
EXEMPLES
un = 2n ‑ 10.
Les termes de la suite (un ) sont tels que u0 = ‑10,
u1 = ‑8, u2 =
‑6, u3 = ‑4, u4
= 2, u5 = 0,… , u10 = 10,… , u21 = 30,.., u50
= 90.
La liste 1/2, 3/2, 5/2, 7/2, ...
est une suite. La liste 1, -2, 4, -8, ... est une suite.
Le premier terme est le plus
souvent noté u0 ; dans ce
cas un, le terme d'indice n, est alors le (n+1)ième
terme, ou le terme de rang n + 1. Si le premier terme est noté u1 ,
le nième terme est alors bien un.
1. DÉFINITION.
Une suite (un) est
arithmétique s'il existe un nombre réel r tel que, pour tout nombre entier
naturel n, on ait : un+1 = un
+ r , r est appelé la raison de la suite arithmétique. Autrement dit, on
obtient un terme en ajoutant au terme précédent un même nombre (constant) r
(raison de la suite).
EXEMPLES
·
Soit (un ) la suite arithmétique de premier
terme -5 et de raison 2. Ses premiers termes sont tels que u0 = -5, u1 = -5+2=
-3, u2 = -3+2 = -1, u3 =
-1+2=1, u4 =1+2=3.
·
Soit (un ) la suite arithmétique de premier
terme 7 et de raison ‑ 2. Ses premiers termes sont tels que u0 = 7, u1 =7‑2=5,
u2 =5‑2 = 3, u3 =3‑2=1,
u4 =1‑2= ‑1.
·
La suite des nombres entiers naturels (0, 1, 2, 3, 4, 5,
...) est une suite arithmétique, son premier terme est 0, sa raison est 1.
·
La suite des nombres entiers impairs (1, 3, 5, 7, 9, ...)
est une suite arithmétique de premier terme 1, et de raison 2.
Remarque. Une suite
arithmétique est déterminée par la donnée de son premier terme u0 (éventuellement
u1 ) et de sa raison r.
2. CALCUL DE un EN FONCTION DE n
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Le
terme général d'une suite arithmétique de premier terme u0 et de
raison r est : un = u0
+n r |
Remarque. Si le premier terme
de la suite est u1 , on a : un = u1 + (n ‑
1) r.
EXEMPLES
• Si (un ) est la
suite de premier terme u0 = 7 et de raison ‑ 2, on a: un = 7‑2n.
On retrouve ainsi : u2 = 7 ‑ 4´2 = 7 ‑ 8 = ‑ 1.
On a rapidement : u51 = 7 ‑ 100 = ‑ 93.
• Si (vn ) désigne
la suite des nombres impairs (v0 = 1, v1 = 3, v2 = 5, ...), son premier terme
étant 1 et sa raison 2, on a vn = 1 + 2n pour le (n + 1)ième nombre impair.
Quel est le millième nombre
impair ?
3. SOMME DES NOMBRES ENTIERS
NATURELS DE 1 à n
|
1 + 2
+ 3 + . . + n = n(n+1)/2 |
• Somme des nombres entiers de
1 à 100.
1 + 2 +
3 + … + 100 = 100 ´ (100 +
1)/2= 50´101 = 5
050.
• Somme des nombres entiers de
50 à 150.
On calcule la somme des nombres
entiers de 1 à 150
1 + 2 +
... +150 = 150´151/2 =
11 325.
On calcule la somme des nombres
entiers de 1 à 49
1 + 2 +
... +49 = 49´50/2 =
1225.
On en déduit : 50 + 51 + 52 +…
+ 150 = 11 325 ‑ 1 225 = 10100.
1. DÉFINITION.
Une suite (un) est
géométrique s'il existe un nombre réel q tel que, pour tout nombre entier
naturel n, on ait : un+1 = q
un , q est appelé la raison
de la suite géométrique (un). Autrement dit, on obtient un terme en
multipliant le terme précédent par un même nombre (constant) q (raison de la
suite).
Remarque. Une suite géométrique
est déterminée par la donnée de son premier terme u0,
(éventuellement u1 ) et de sa raison.
On obtient alors, de proche en
proche: u1 , u2 , u3 , u4 , ...
·
Soit (un ) la suite géométrique de premier
terme u0 = 12 et de raison 2
. Ses premiers termes sont tels que : u0 =12, u1 =2´12=24,
u2 = 2´24=48,
u3=2´48=96,
u4=2´96=192
...
·
La suite géométrique (un ) de premier terme u0
= 12 et de raison –1/ 2 est telle que u0= 12 , u1 =
‑6, u2 = 3, u3 = ‑3/2,...
·
La suite des puissances entières de 2: (1, 2, 4, 8, ...,
2n , ...) est une suite géométrique de premier terme 1 et de raison
2.
2. CALCUL DE un EN
FONCTION DE n
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Le
terme général d'une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q est un = u0 ´qn |
Remarque. Si le premier terme
est u1 , on a: un = u1´qn-1
.
EXEMPLE : Le terme général
de la suite (un ) de premier terme u0 = 12 et de
raison 2 vérifie: un
= 12´2n. On retrouve : u1 = 12´2=24 ,
u2 = 12´22
= 48 .
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