Intérêts simples. Intérêts composés
1 - Exemple:
Un capital de 10000E est placé au taux annuel de 5%
S
Au bout d’un an,l’intérêt produit est 5% x 10000= j~-x 10000=500 E.
On appelle C~ le capital initial ( ou capital de base) Co = 10 000
Le capital acquis au bout d’un an est C> = 10 000+500 = 10 500
Pour la 2êtœ année, il y a 2 possibilités:
5
• Soit l’intérêt est calculé sur le capital de base, alors l’intérêt est toujours ~~—x 10000 = 500
Le capital acquis au bout de 2 ans est <22 = 10500 + 500 = Il 000
5
• Soit l’intérêt est calculé sur le capital acquis,alors il vaut 5%x 10500 y~-x 10500 = 525 Le capital acquis au bout de 2 ans est <22 = 10500 + 525 = il 025
Il en va de même les années suivantes.
On appelle C., le capital acquis au bout de n années.
• Dans le premier cas , chaque année, le capital acquis augmente de 500 E: C.,+~ = C~ + 500.
On passe d’un terme au suivant en ajoutant 500 .La suite (C.,) est arithmétique, sa raison est 500. On dit qu’il s’agit d’un placement à intérêts simples.
5
• Dans le deuxième cas, l’intérêt produit la nêtItC année est j~3-x Q = 0,05 C.,
=
C., 4 0,05 C., = C., (I 4 0,05) = 1,05 C., . On passe d’un terme au suivant en multipliant par 1,05 . La suite (C.,) est géométrique,sa raison est 1,05. On dit qu’il s’agit d’un placement à intérêts composés ou à intérêts capitalisés
Exercice:
Calculer la valeur acquise par le capital précédent suivant les 2 possibilités au bout de 3 ans
, 4 ans, 5 ans ( au centime près)
2
— Cas général:Un capital de base C0 est placé à un taux annuel i . On appelle C, le capital acquis au bout de n années.
• Si le placement est à intérêts simples, l’intérêt est toujours C~ i donc C.,+~ = C., + C~ i. On obtient une suite arithmétique de raison C~ i . En utilisant la formule u., = i.>0 4 na , on trouve
C., = Co + nC0i our un lacement à intérêts sim les
Par exemple si on place 10000 € à intérêts simples au taux annuel de 5%, le capital acquis au bout de 9 ans est
5
l000049xl0000x—= 14500E
100
• Si le placement est à intérêts composés ( ou capitalisés), l’intérêt produit la nt~ année est Qi, donc
=
C., + C.,i = C., ( l4ï). On obtient une suite géométrique de raison l4i . En utilisant la formule u., = u0b’ , on trouve
C.
Par exemple si on place 10 000 E à intérêts composés au taux annuel de 5 %, le capital acquis au bout de 9 ans est
59
‘ooo0~14wa-~ l0000xl,059=l55l3,28(àuncentimeprès).
Exercices
i — Luc et Marie ont gagné chacun 1200 € en travaillant pendant I ‘ été.
• Luc place son argent à intérêts simples au taux annuel de 7 %. Combien a-t-il au bout de 4 ans ? au bout de 8 ans?
• Marie place son argent à intérêts composés au taux annuel de 6 % . Combien a-t-elle au bout de 4 ans? au bout de 8 ans?
2 - a) Le 1/1/1998 Pierre a placé 20000 F au taux de 4% l’an ,avec intérêts capitalisés chaque année. On note u., la somme dont Pierre disposera le l/1/l9984n.
Calculer la somme dont Pierre disposera le 1/1/2005
b ) Le 1/1/1998 Eric a placé 20 000 F à intérêts simples au taux de 4,5 % l’an . On note v., la somme dont Eric disposera le l/1/1998+n.
Exprimer v., ai fonction de n.
c) Quelle est la plus petite valeur de n pour laquelle u,> v.,?