PreuvesTypeHexa10

Les commentaires et les preuves à propos des propriétés de l'hexagone déformation de l'hexagone régulier.

Figures 1, 2, 2a, 2b : même si l'animation sous Cabri n'exclut pas l'hexagone croisé, je limite la preuve au cas hexagone convexe.

Commençons par une évidence : la figure constituée par un cercle (c) de centre O et un point A admet pour axe de symétrie le diamètre du cercle (c) passant par A, donc la droite (AO). On va reconstruire cet hexagone ABCDeF de proche en proche à partir de A vers D,e en s'appuyant sur la symétrie axiale.

Le sommet A de l'hexagone, le centre O, les points B et F, les cercles de centres B et F, les deux côtés [AB] et [AF] (avec AF=OF et AB = OB) constituent une figure ayant aussi (AO) comme axe de symétrie, car les triangles AOF et AOB sont isocèles et donc ABOF est un losange.

A est élément du cercle (c1) et les sommets C et e sont points d'intersection des cercles de centre B et F passant par O. Ces cercles sont symétriques par rapport à (AO) et il en est donc de même de C et e, la ligne polygonale eFABC a donc aussi (AO) pour axe de symétrie.

Pour D on a le choix entre deux constructions possibles :

- si on veut CD=BC, on construit D comme point commun de (c) et du cercle de centre C passant par O, on prouve que (C,D) est équipollent à (A,F) à l'aide des losanges ABOF et OBCD. e est alors confirmé comme point commun entre le cercle (c) et celui de centre F passant par O. S'il est vrai que le pentagone ABCeFA a (AO) comme axe, il n'en est plus de même de l'hexagone ABCDeFA, mais on y reviendra avec une "presque symétrie".

- sinon c'est le cercle de centre e qui coupe (c) en un point d , et c'est [Cd] qui est le côté "sacrifié" de l'hexagone ABCdeFA. Il est facile de prouver, comme on l'a fait ci-dessus, que ces deux hexagones ABCDeFA et ABCdEFA sont symétriques l'un de l'autre autour de (AO). Par contre il faut voir qu'il existe bien deux côtés "équipollents", (A,B) et (e,d) cette fois.

Le fait de trouver deux solutions qui sont symétriques par réflexion est tout à fait cohérent puisque l'on utilise la possibilité de choix pour les deux faces des pavés.

Ces hexagones pavent le plan, ils ont deux côtés "équipollents", Et j'ajoute qu'ils permettent des pavages du plan analogues à celui, particulier, de HexaBloc10 (découvert par ailleurs auparavant) qui a aussi la propriété d'avoir les mêmes éléments de symétrie que le quinzième, et dernier, pavage pentagonal du plan découvert en 2015.

Le mode de construction de cet hexagone permet une animation dans les figures Cabri qui déforme notre bon vieux pavage par des "tomettes hexagonales" de manière "continue" jusqu'à ce quinzième pavage pentagonal du plan. Mais je ne suis pas sûr que ce soit le seul hexagone qui possède ces propriétés. Voir la figure des pavages ici .

S'agissant d'hexagone ayant deux côtés "équipollents" le début du pavage à partir du premier pavé se fait en appliquant une symétrie par rapport au milieu du seul côté de longueur différente de la longueur commune des tous les autres d'une part, et en appliquant la translation définie par les côtés équipollents. Ces trois pavés engendrent tous les autres par translations.

Ci-dessous figure Cabri dynamique , si vous êtes sous IE5, (sinon image précédente agrandie)

HTML export by Cabri II Plus